Hosted by uCoz

Задача № 27. Вычислить значение многочлена в точке

Формулировка. Дано натуральное число n, вещественное число x и набор вещественных чисел an, an-1, ..., a0. Вычислить значение многочлена n-ной степени с коэффициентами an, an-1, ..., a0 от одной переменной в точке x.

Примечание: многочленом n-ной степени от одной переменной x называется выражение вида anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, где an, an-1, ..., a0 – коэффициенты.

Решение. Собственно, в этой задаче требуется возведение переменной x (точнее, конкретного ее значения) в некоторую степень n – 1 раз, а также n операций умножения и n операций сложения. В принципе, для полноценного решения она не требует одновременного знания более чем одного коэффициента, так как мы можем в цикле ввести коэффициент an в переменную a, умножить его на xn и прибавить полученное число к переменной результата res (которой перед входом в цикл должно быть присвоено значение 0) и повторить этот шаг для всех коэффициентов. Тогда количество операций: (1 + 2 + ... + n + 2n), что примерно соответствует асимптотической сложности O(n2).

Не занимаясь реализацией этого алгоритма, давайте оптимизируем его. Например, пусть нам дан многочлен третьей степени a3x3 + a2x2 + a1x + a0. Вынесем за скобки общий множитель x при слагаемых, в которых это возможно. Получим: (a3x2 + a2x + a1)x + a0. Вынесем за скобки x также и в полученном выражении со скобками, в итоге получим: ((a3x + a2)x + a1)x + a0.

Полученную форму записи называют схемой Горнера. Очевидно, что она существует для многочлена любой степени.

Итак, имея n = 3 и коэффициенты a3, a2, a1 и a0, мы можем посчитать его значение с помощью n операций умножения и n операций сложения, а это значит, что для вычисления требуется порядка 2n операций и алгоритм имеет линейную асимптотическую сложность O(n), что демонстрирует очевидное преимущество перед предыдущим решением.

Посмотрим, как может выглядеть цикл, в котором вычисляется значение многочлена в точке. Для этого немного изменим представление в виде схемы Горнера, не меняя при этом значения многочлена: (((0x + a3)x + a2)x + a1)x + a0.

Теперь нам требуется n + 1 операций, однако заведя переменную res для накопления результата, которая перед входом в цикл будет равна 0, мы можем, вводя коэффициенты a3, a2, a1 и a0, посчитать значение многочлена в одном цикле:

res := 0;

for i := 1 to n + 1 do begin

  read(a);

  res := res * x + a

end;

Примечание: оператор read нужен нам для того, чтобы можно было вводить коэффициенты через пробел, а не через Enter.

Теперь разберем сам цикл. На первом шаге мы получаем в res значение выражения 0x + a3 = a3, на втором – a3x + a2, на третьем – (a3x + a2)x + a1, на четвертом – ((a3x + a2)x + a1)x + a0. Как видно, формула полностью восстановилась, причем вычисление идет от наиболее вложенных скобок к верхним уровням.

Код:

  1. program ValueOfPolynomial;
  2. var
  3. i, n: byte;
  4. x, a, res: real;
  5. begin
  6. readln(n, x);
  7. res := 0;
  8. for i := 1 to n + 1 do begin
  9. read(a);
  10. res := res * x + a
  11. end;
  12. writeln(res:4:2)
  13. end.