Hosted by uCoz

Задача № 50. Вычислить экспоненту с заданной точностью

Формулировка. Дано действительное число x. Вычислить значение экспоненциальной функции (то есть, показательной функции ex, где e – математическая константа, ) в точке x с заданной точностью eps с помощью ряда Тейлора:

Примечание 1: показательными называются функции вида ax, где a – некоторое действительное число, x – независимая переменная, являющаяся показателем степени.

Примечание 2: ряд Тейлора – это представление функции в виде суммы (возможно, бесконечной) некоторых других функций по особым правилам (требующим детального математического обоснования, что в данном случае нам не нужно).

Решение. Не вникая в теоретическую часть и полагая представленную формулу корректной, попробуем разобраться в том, что же нам необходимо сделать для того, чтобы решить эту задачу:

1)   Нам дана некоторая точка на оси Ox, и мы должны вычислить значение функции ex в этой точке. Допустим, если x = 4, то значение функции в этой точке будет равно ;

2)   При этом вычисление необходимо реализовать с помощью заданной бесконечной формулы, в которой прибавление каждого очередного слагаемого увеличивает точность результата;

3)   Точность должна составить вещественное число eps, меньшее 1 – это означает, что когда очередное прибавляемое к сумме слагаемое будет меньше eps, то необходимо завершить вычисление и выдать результат на экран. Это условие обязательно выполнится, так как математически доказано, что каждое следующее слагаемое в ряде Тейлора меньше предыдущего, следовательно, бесконечная последовательность слагаемых – это бесконечно убывающая последовательность.

Теперь разберемся с вычислением самого ряда. Очевидно, что любое его слагаемое, начиная со 2-го, можно получить из предыдущего, умножив его на x и разделив на натуральное число, являющееся номером текущего шага при последовательном вычислении (примем во внимание то, что тогда шаги нужно нумеровать с нуля). Значение x нам известно на любом шаге, а вот номер текущего шага (будем хранить его в переменной n) придется фиксировать.

Создадим вещественную переменную expf (от англ. exponential function – экспоненциальная функция) для накопления суммы слагаемых. Будем считать нулевой шаг уже выполненным, так как первое слагаемое в ряду – константа 1, и в связи с этим expf можно заранее проинициализировать числом 1:

expf := 1;

Так как мы начинаем вычисления не с нулевого, а с первого шага, то также нужно инициализировать значения n (числом 1, так как следующий шаг будет первым) и p (в ней будет храниться значение последнего вычисленного слагаемого):

n := 1;

p := 1;

Теперь можно приступить к разработке цикла. С учетом заданной точности eps условием его продолжения будет abs(p) >= eps, где abs(p) – модуль числа p (модуль нужен для того, чтобы не возникло ошибки, если введено отрицательное x).

В цикле необходимо домножить p на x и доделить его на текущий номер шага n, чтобы обеспечить реализацию факториала в знаменателе, после чего прибавить новое слагаемое p к результату expf и увеличить n для следующего шага:

while abs(p) >= eps do begin

  p := p * x / n;

  expf := expf + p;

  inc(n)

end;

После выхода из цикла нужно осуществить форматированный вывод результата expf на экран с некоторым количеством цифр после точки, например, пятью. Отметим, что если при этом введенное eps содержало меньше 5 цифр после точки, то сформированное значение expf будет, соответственно, неточным.

Код:

  1. program ExpFunc;
  2. var
  3. x, eps, expf, p: real;
  4. n: word;
  5. begin
  6. readln(x, eps);
  7. expf := 1;
  8. n := 1;
  9. p := 1;
  10. while abs(p) >= eps do begin
  11. p := p * x / n;
  12. expf := expf + p;
  13. inc(n)
  14. end;
  15. writeln(expf:0:5)
  16. end.